ダイアログ内にEditTextを実装して、ダイアログが立ち上がるのと同時にソフトウェアキーボードを表示する方法です。

ダイアログにsetOnShowListenerを実装して、onShow()メソッドをオーバーライドします。
onShow()内でInputMethodManagerを使ってソフトウェアキーボードを表示させます。

final Dialog newDialog = new Dialog(this);  
newDialog.setContentView(R.layout.mydialog);  
newDialog.setOnShowListener(new DialogInterface.OnShowListener() {  
    @Override  
    public void onShow(DialogInterface arg0) {  
        EditText editText = (EditText)newDialog.findViewById(R.id.edittext);  
  
        InputMethodManager inputMethodManager 
                = (InputMethodManager)getSystemService(Context.INPUT_METHOD_SERVICE);  
        inputMethodManager.showSoftInput(editText, 0);  
    }  
});  
newDialog.show();

ちなみにAlertDialog.BuilderはsetOnShowListener()メソッドを持っていないようです。
↓面倒ですがcreate()しましょう。

AlertDialog alertDialog = alertDialogBuilder.create();
			alertDialog.setOnShowListener(new DialogInterface.OnShowListener() {
				@Override
				public void onShow(DialogInterface arg0) {
					InputMethodManager inputMethodManager = (InputMethodManager) getSystemService(Context.INPUT_METHOD_SERVICE);
					inputMethodManager.showSoftInput(dialogEditText, 0);
				}
			});
			alertDialog.show();

↓こちらの記事を参考にさせていただきました。ありがとうございます!
Y.A.M の 雑記帳 Android ダイアログ表示時にソフトキーボードを出す