ダイアログ内にEditTextを実装して、ダイアログが立ち上がるのと同時にソフトウェアキーボードを表示する方法です。

ダイアログにsetOnShowListenerを実装して、onShow()メソッドをオーバーライドします。
onShow()内でInputMethodManagerを使ってソフトウェアキーボードを表示させます。

ちなみにAlertDialog.BuilderはsetOnShowListener()メソッドを持っていないようです。
↓面倒ですがcreate()しましょう。

↓こちらの記事を参考にさせていただきました。ありがとうございます!
Y.A.M の 雑記帳 Android ダイアログ表示時にソフトキーボードを出す